Математически крайняя чувствительность к начальным условиям может быть представлена величиной, называемой показателем Ляпунова, которая положительна, если две бесконечно близкие начальные точки расходятся экспоненциально с течением времени. Тем не менее, показатели Ляпунова как определение хаоса имеют ограничения — они проверяют хаос только в конкретных решениях модели, а не в самой модели, и они могут быть положительными, например, в простых сценариях неограниченного роста, даже если базовая модель считается слишком простым, чтобы считаться хаотичным.Теперь исследователи из Университета Мэриленда придумали новое определение хаоса, которое применяется более широко, чем показатели Ляпунова и другие предыдущие определения хаоса.
Новое определение укладывается в несколько линий, может быть легко аппроксимировано численными методами и работает для самых разных хаотических систем. Исследователи представляют определение в статье в 25-летнем выпуске журнала Chaos от AIP Publishing.
Охота за скрытым хаосомЭдвард Лоренц, ученый, чья работа породила термин «эффект бабочки», впервые заметил хаотические характеристики в моделях погоды.
В 1963 году он опубликовал набор дифференциальных уравнений для описания атмосферного воздушного потока и отметил, что крошечные изменения начальных условий могут радикально изменить решение уравнений с течением времени, что затрудняет прогнозирование погоды в долгосрочной перспективе.Хаотическое решение уравнений Лоренца уместно выглядит как два крыла бабочки. По словам Брайана Ханта, математика из Университета Мэриленда и члена университетской «Группы Хаоса», форму можно с математической точки зрения классифицировать как аттрактор, что означает, что ее легко идентифицировать с показателями Ляпунова. Однако, по его словам, не все хаотическое поведение так однозначно.
В качестве примера Хант описывает четыре рождественских шара, сложенных в пирамиду, и эту схему проанализировали коллеги Ханта Дэвид Свит, Эдвард Отт, Джеймс Йорк и другие из Университета Мэриленда. Свет, падающий на блестящие сферы, отражается во всех направлениях.
Большая часть света проходит по простым путям, но случайные фотоны могут застревать внутри пирамиды, хаотично отражаясь от украшений взад и вперед. Хаотичные одноразовые световые пути математически классифицируются как отпугиватели, и их может быть трудно найти из уравнений модели, если вы точно не знаете, где искать.«Наше определение хаоса идентифицирует хаотическое поведение, даже если оно таится в темных углах модели», — сказал Хант, который работал над статьей вместе с Эдвардом Оттом, профессором Университета Мэриленда и автором учебника для выпускников «Хаос в мире». Динамические системы ». Два исследователя также расширили определение, включив в него принудительные системы, что означает, что внешние факторы продолжают подталкивать или тянуть модель по мере ее развития.
Исследователи обычно сталкиваются с хаотическими отпугивателями, обнаруженными в физических системах, таких как вода, текущая по трубе, орбитах астероидов и химических реакциях, и принудительных системах, обнаруженных, например, в стаях птиц, в геофизике и в том, как тело контролирует сердцебиение.Расчет неопределенностиЧтобы объединить общепризнанные формы хаоса под одним общим определением, Хант и Отт обратились к концепции, называемой энтропией.
В системе, которая изменяется со временем, энтропия представляет собой скорость нарастания беспорядка и неопределенности.Идея о том, что энтропия может быть заместителем хаоса, не нова, но стандартные определения энтропии, такие как метрическая энтропия и топологическая энтропия, заключены в математический эквивалент смирительной рубашки. Определения трудно применить в вычислительном отношении, и они имеют строгие предпосылки, которые дисквалифицируют многие физические и биологические системы, представляющие интерес для ученых.
Хант и Отт определили новый тип гибкой энтропии, названный энтропией расширения, который можно применить к более реалистичным моделям мира. Определение может быть точно аппроксимировано компьютером и может учитывать системы, такие как региональные погодные модели, которые вызваны потенциально хаотическими входными данными. Исследователи определяют хаотические модели как модели, демонстрирующие положительную энтропию расширения.
Исследователи надеются, что энтропия расширения станет простым инструментом для определения хаоса в широком диапазоне модельных систем. Выявление хаоса в системе может быть первым шагом к определению того, можно ли в конечном итоге управлять системой.
Например, объясняет Хант, две идентичные хаотические системы с разными начальными условиями могут развиваться совершенно по-разному, но если системы вынуждены внешними входами, они могут начать синхронизацию. Применяя определение хаоса с энтропией расширения и характеризуя, реагируют ли исходные системы хаотически на входные данные, исследователи могут сказать, могут ли они побороть некоторый контроль над хаосом с помощью входных данных в систему.
По словам Ханта, безопасные системы связи и кардиостимуляторы для сердца — это лишь два из возможных вариантов применения этого типа контроля.