Математический анализ мультифракталов дает неоценимую информацию о динамических явлениях, происходящих с различной степенью сложности. Результаты полезны по-разному, но, что наиболее важно, они позволяют нам отбросить влияние текущих, давних тенденций. В статье, опубликованной в журнале Physical Review E, ученые из Института ядерной физики Польской академии наук (INP PAS) в Кракове, Польша, впервые показали, что некоторые упущенные из виду особенности графиков мультифракталов, известные как Спектры сингулярностей временного ряда, по сути, имеют тесную связь с природой анализируемых явлений.«Графики, полученные с помощью анализа мультифракталов, демонстрируют некоторую асимметрию, и мы обратили на это внимание.
До сих пор асимметрия рассматривалась как побочный продукт вычислительного метода. Мы доказали, что асимметрия может нести ценную информацию о природа анализируемых процессов.
Используя этот подход, глядя на некоторые графики, например, относящиеся к количеству солнечных пятен на поверхности Солнца, мы приходим к очень интересным выводам », — говорит профессор Станислав Дроздз (INP PAS , Краковский технологический университет).Фракталы обладают характерным качеством самоподобия: каждый фрагмент сохраняет сходство с исходной формой даже после увеличения или уменьшения. Примечательно, что масштабирование любого заданного фрагмента обычного фрактала происходит с одинаковой скоростью: если мы увеличиваем фрактал x количество раз в одном месте, появляются структуры, похожие на оригинал, а если это делается в другом месте, увеличение произойдет точно так же. Некоторые фракталы настолько самобытны, что получили известность даже в массовой культуре.
К ним относятся, среди прочего, треугольник Серпинского, построенный в 1915 году Вацлавом Серпинским, и характеристическое множество, впервые описанное французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом. Однако оказывается, что могут быть более сложные математические структуры, построенные из фракталов, «переплетенных» друг с другом определенным образом с использованием правильных пропорций.«В некотором смысле, мультифракталы — это фракталы фракталов.
Они не просто сумма фракталов, и их нельзя разделить, чтобы вернуться к своим исходным компонентам, потому что способ, которым они« переплетаются », является фрактальным по своей природе. Это конкретное переплетение вызывает каждый фрагмент мультифрактального увеличения с другой скоростью », — объясняет доктор Павел Освенцимка (INP PAS), соавтор.За завтраком можно построить прототипный мультифрактал.
Все, что вам нужно, это масло и кусок хлеба. Разделите ломтик пополам, но не разрезайте. Возьмите немного сливочного масла и намажьте его на одну половину, а на другую половину намажьте еще немного масла. Затем снова разделите каждую половину на половинки и разделите каждый мазок, используя половину количества масла, как и раньше, но в тех же пропорциях.
Поскольку процесс повторяется любое количество раз, распределение масла на ломтике будет мультифрактальным по своей природе, поскольку предполагаемое несоответствие количества масла в каждой паре половинок становится более выраженным.Тесты, проводимые с использованием мультифракталов, раскрывают закодированные в данных свойства, относящиеся к отношениям в различных масштабах.
Основные графические инструменты здесь известны как мультифрактальные спектры или спектры сингулярности.«Если данные принимают структуру простого фрактала, мультифрактальные графы сводятся к точке. Если структура мультифрактала однородна, то граф принимает идеальную симметричную форму, форму аккуратного холма — перевернутую параболу.
Дело в том, что на многих графиках, которые мы видели на реальных данных, нет идеальной симметрии. Как правило, левая сторона является доминирующей », — говорит д-р Освенцимка.Левосторонняя асимметрия обнаруживается в ряде наборов данных. При анализе разнообразия длин предложений в литературных произведениях большинство полученных графиков не принимают структуру мультифрактала.
Заметным исключением из этого правила являются романы о «потоке сознания», лучшим примером которых является «Поминки по Финнегану» Джеймса Джойса. При анализе это и другие произведения жанра, такие как «Райуэла» Хулио Кортасара и «2666» Роберто Болана, имеют структуру с ярко выраженной левосторонней асимметрией. Это означает, что соответствующие корреляции проявляются в основном в вариациях между более длинными предложениями, в то время как в более коротких предложениях такие корреляции практически исчезают.
Однако есть явления, которые обнаруживают признаки правосторонней асимметрии. Среди них последовательность временных интервалов на фондовой бирже, когда происходит изменение цен на акции, которое не происходит равномерно. Напротив, бывают длительные периоды, когда цена при отсутствии сделок остается постоянной, а затем внезапно через короткое время регистрируется кластер обменов.
Правосторонняя асимметрия означает, что, хотя интервалы между кластерами плохо коррелированы, в основном случайны, времена между транзакциями внутри кластеров связаны между собой.Самое любопытное наблюдение было обнаружено, когда физики ИЯФ ПАС начали анализировать количество солнечных пятен.
Удивительным было то, что на графике не только отображались мультифракталы, но и — и это было полной неожиданностью — ярко выраженная правая симметрия. Таким образом, когда колебания в пятнах имеют большую амплитуду, их изменения случайны, и они становятся более коррелированными для флуктуаций меньшей амплитуды.«Правосторонняя асимметрия в случае интервалов между транзакциями на фондовом рынке, которую мы можем понять. Некоторое время ничего не происходит, кто-то внезапно покупает или продает, а затем другие присоединяются к торговой деятельности.
Но какой механизм отвечает за мультифрактальные корреляции в колебаниях числа солнечных пятен, и в особенности их двойственная природа? " чудеса проф. Дроздз.
Результаты мультифрактального анализа изменений солнечных пятен, кажется, подтверждают гипотезу о том, что Солнце может функционировать не с одним, а с двумя механизмами, ответственными за генерацию магнитных полей. Исследования будут продолжены в сотрудничестве с Бельгийской королевской обсерваторией в Брюсселе.