«Наше решение проблемы Кирхгофа-Плато дает прекрасные математические результаты, близкие к тому, что происходит в физическом мире», — говорит доктор Джулио Джустери, соавтор статьи, недавно опубликованной в Journal of Nonlinear Science. Д-р Джустери работал с профессором Элиотом Фридом, который возглавляет Отдел математических исследований мягкой материи OIST, и доктором Лукой Луссарди из Университета Каттолика дель Сакро Куоре в Италии.
Вопрос, на который ответила команда, представляет собой вариант «проблемы Плато», многовековой математической задачи, названной в честь бельгийского физика 19 века Джозефа Плато. Плато предположил, что когда вы окунаете жесткий проволочный каркас в мыльный раствор, поверхность мыльной пленки, образующейся на каркасе, представляет собой минимально возможную математически площадь, независимо от формы каркаса.
Первое удовлетворительное решение проблемы Плато было предложено в 20 веке американским математиком Джесси Дугласом, за которое он был награжден медалью Филдса в 1936 году. Совсем недавно, в 2014 году, профессор Дженни Харрисон из Калифорнийского университета в Беркли расширила работу Дугласа, предоставив Доказательство справедливо при общих гипотезах, охватывающих, например, ситуации, в которых присутствуют стыки, когда несколько мыльных пленок встречаются друг с другом.В отличие от задачи Плато, в которой мыльная пленка охватывает фиксированный кадр, проблема Кирхгофа-Плато касается равновесных форм мыльных пленок, охватывающих гибкие петли, например, из лески, которые можно описать с помощью теории Кирхгофа. стержни — модель, которая обеспечивает мощный подход к изучению статики и динамики тонких упругих стержней.
Сложность заключается в том, что гибкая петля может изменять форму в ответ на силу, оказываемую мыльной пленкой. Таким образом, решение проблемы требует определения не только формы мыльной пленки, но и формы ограничивающей петли. Напротив, форма границы в исходной задаче Плато известна, потому что она сделана из жесткой проволоки, которая остается закрепленной против относительно слабых сил мыльной пленки.Дополнительная сложность, связанная с проблемой Кирхгофа-Плато, заключается в том, что в отличие от исходной задачи Плато, в которой граница считается одномерной, стержень Кирхгофа является трехмерным объектом.
Хотя нити, такие как леска, тонкие, они на порядки толще, чем мыльная пленка в равновесии, а это означает, что площадь мыльной пленки может изменяться в зависимости от точки, в которой пленка контактирует с петлей.Исследователи успешно перевели все эти физические эффекты в математические термины. Как объясняет профессор Фрид: «Независимо от того, насколько сильна конкуренция между поверхностным натяжением мыльной пленки и упругим откликом петли, система всегда может отрегулировать для достижения конфигурации с наименьшей энергией».Решение проблемы Кирхгофа-Плато не только способствует пониманию математических форм минимизации энергии, но также может быть применено к биологическим системам.
Например, это может помочь нам понять, как форма белка определяет, как он взаимодействует с поверхностью и связывается с ней.Сейчас команда работает над компьютерным моделированием, которое на основе этой математической модели может предсказывать поведение физических систем.