Математики из Университета Брауна внесли новый элемент неопределенности в уравнение, используемое для описания поведения потоков жидкости. Хотя быть максимально уверенным в математике, как правило, является предметом торговли, исследователи надеются, что эта новая формулировка может в конечном итоге привести к математическим моделям, которые лучше отражают неопределенности, присущие миру природы.
Исследование, опубликованное в Proceedings of the Royal Society A, касается уравнения Бюргерса, которое используется для описания турбулентности и ударов в потоках жидкости. Уравнение можно использовать, например, для моделирования формирования фронта, когда воздушные потоки сталкиваются друг с другом в атмосфере.
«Допустим, у вас есть волна, которая очень быстро движется в атмосфере», — сказал Джордж Карниадакис, профессор прикладной математики Чарльза Питтса Робинсона и Джона Палмера Барстоу в Браун и старший автор нового исследования. «Если остальная часть воздуха в области находится в состоянии покоя, то поток один переходит в другой. Это создает очень жесткий фронт или удар, и это то, что описывает уравнение Бюргерса».Однако он делает это тем, что Карниадакис описывает как «очень стерилизованный» способ, означающий, что потоки моделируются в отсутствии внешних воздействий.Например, при моделировании турбулентности в атмосфере уравнения не принимают во внимание тот факт, что воздушные потоки взаимодействуют не только друг с другом, но и с любым ландшафтом внизу — будь то гора, долина или простой.
В общей модели, разработанной для захвата любой случайной точки атмосферы, невозможно узнать, какие формы рельефа могут находиться под ней. Но эффекты, какими бы ни были эти формы рельефа, все же можно учесть в уравнении, добавив новый термин — тот, который трактует эти эффекты как «случайное воздействие».В этом последнем исследовании Карниадакис и его коллеги показали, что уравнение Бюргерса действительно может быть решено при наличии этого дополнительного случайного члена. Новый термин дает ряд решений, которые учитывают неопределенные внешние условия, которые могут воздействовать на модельную систему.
Эта работа является частью более масштабной и развивающейся области математики, называемой количественной оценкой неопределенности (UQ).
Карниадакис возглавляет междисциплинарную университетскую исследовательскую инициативу с центром в Брауне, чтобы изложить математические основы UQ.«Общая идея UQ, — сказал Карниадакис, — заключается в том, что, когда мы моделируем систему, мы должны ее упростить.
Когда мы упрощаем ее, мы отбрасываем важные степени свободы. Итак, в UQ мы учитываем тот факт, что мы совершили преступление с нашим упрощением, и мы пытаемся повторно ввести некоторые из этих степеней свободы как случайное принуждение.
Это позволяет нам получить больше реализма от наших симуляций и наших прогнозов ».Решение этих уравнений требует больших вычислительных ресурсов, и только в последние годы вычислительные мощности достигли уровня, который делает такие вычисления возможными.«Об этом люди думали годами», — сказал Карниадакис. «За мою карьеру вычислительная мощность увеличилась в миллиард раз, поэтому теперь мы можем подумать об использовании этой мощности».
В конечном итоге цель состоит в том, чтобы математические модели, описывающие все виды явлений — от атмосферных токов до сердечно-сосудистой системы и экспрессии генов, — лучше отражали бы неопределенности мира природы.Хейрим Чо и Даниэле Вентури были соавторами статьи.