Проблема с одномерным случаем в том, что он не отражает физическую реальность. В этой работе авторы решили уравнение, описывающее влияние трения твердого тела на сыпучие материалы для произвольного числа размеров.Во-первых, они считали, что поскольку на частицу действует случайная вибрирующая сила, они не могут с уверенностью определить ее положение и скорость.
Поэтому они рассмотрели вероятностное распределение своего положения. Затем они использовали уравнение — уравнение Фоккера-Планка (FP) — для описания его эволюции.Им удалось решить это уравнение и получить соответствующие физические величины, которые можно измерить экспериментально, чтобы проверить правильность своего решения, используя простую аналогию с другой областью, квантовой механикой, и решением знаменитого уравнения Шредингера. Их результаты прекрасно согласуются с численными решениями в 2-х и 3-х измерениях.
Это означает, что модель также может быть использована в дальнейших исследованиях движущихся частиц в гранулированной жидкости, что актуально для ряда отраслей, от строительства до фармацевтики. В этой задаче на частицу-нарушитель действует постоянная сила, которая взаимодействует через две силы, а именно силы нормального контакта и силы трения, с частицами гранулированной жидкости.